การประยุกต์อนุพันธ์และการอินทิกรัล

การประยุกต์อนุพันธ์และการอินทิกรัล

การหาค่าสูงสุดและต่ำสุด

นิยาม 8.1.1 ให้ f เป็นฟังก์ชันบนช่วง I และ t Î I

1. เราจะเรียก f(t) ว่าค่าสูงสุดสัมพัทธ์ (relative maximum) ของ f ที่จุด t ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนบวก h ที่ทำให้ f(x) £ f(t) ทุก ๆ x Î (t-h,t+h) และเรียกจุด (t,f(t)) ว่า จุดสูงสุดสัมพัทธ์ของ f

2. เราจะเรียก f(t) ว่าค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ (relative minimum) ของ f ที่จุด t ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนบวก h ที่ทำให้ f(x) ≥ f(t) ทุก ๆ x Î (t-h,t+h) และเรียกจุด (t,f(t)) ว่า จุดต่ำสุดสัมพัทธ์ของ f

3. เราจะเรียก f(t) ว่าค่าสูงสุดสัมบูรณ์ (absolute maximum) ของ f บน I ก็ต่อเมื่อ f(x) £ f(t) ทุก ๆ x Î I และเรียกจุด (t,f(t)) ว่าจุดสูงสุดสัมบูรณ์ของ f

4. เราจะเรียก f(t) ว่าค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ (absolute minimum) ของ f บน I ก็ต่อเมื่อ f(x) ≥ f(t) ทุก ๆ x Î I และเรียกจุด (t,f(t)) ว่าจุดต่ำสุดสัมบูรณ์ของ f

รูปที่ 8.1.1

f เป็นฟังก์ชันบนช่วง (-∞,a]

ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ คือ f(m), f(p), f(a)

ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ คือ f(n), f(q)

ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ คือ f(a)

ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ ไม่มี

การหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดวิธีที่ 1 (โดยใช้อนุพันธ์อันดับ 1)

ทฤษฎีบท 8.1.1 ให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ t และ f’(t) = 0 หรือ f’(t) หาค่าไม่ได้ ถ้ามีช่วง (a,b) ที่ t Î (a,b) และทำให้ f’(x) > 0 เมื่อ x Î (a,t) และ f’(x) < 0 เมื่อ x Î (t,b) แล้ว f(t) จะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ f ที่จุด t

พิสูจน์ เนื่องจาก f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ t เพราะฉะนั้น f นิยามที่จุด t เพราะว่ามีช่วง (a,t) ที่ทำให้ f’(x) > 0 เมื่อ x Î (a,t)

จะได้ว่า f จะเป็นฟังก์ชันเพิ่มบน [a,t] และ f(t) > f(x) " x Î [a,t)

มีช่วง (t,b) ที่ทำให้ f’(x) < 0 เมื่อ x Î (t,b)

จะได้ว่า f จะเป็นฟังก์ชันลดบน [t,b] และ f(t) > f(x) " x Î (t,b]

ดังนั้น f(t) > f(x) " x ≠ t และ x Î [a,b]

นั่นคือ f(t) จะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ f ที่จุด t

ทฤษฎีบท 8.1.2 ให้ f เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องที่ t และ f’(t) = 0 หรือ f’(t) หาค่าไม่ได้ ถ้ามีช่วง (a,b) ที่ t Î (a,b) ทำให้ f’(x) < 0 เมื่อ x Î (a,t) และ f’(x) > 0 เมื่อ x Î (t,b) แล้ว f(t) จะเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ f ที่จุด t

ถึงแม้ว่า f’(t) จะหาค่าไม่ได้ f(t) ก็เป็นค่าสูงสุด (หรือต่ำสุด) ได้เช่น ฟังก์ชัน f ในรูป f’(t) มีค่าเข้าใกล้ ∞ นั่นคือ f’(t) หาค่าไม่ได้ แต่ f(t) เป็นค่าสูงสุด

ค่า f(t) ที่ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ เราจะเรียกว่า ค่าที่สุด (extreme value) หรือ extremum ของ f

ค่า f ที่ทำให้ f’(t) = 0 หรือ f’(t) หาค่าไม่ได้ จะเรียกว่า ค่าวิกฤต (critical value)

วิธีการหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์วิธีที่ 1 (โดยใช้อนุพันธ์อันดับ 1)

1. หาค่า f’(t)

2. หาค่าวิกฤต t โดย

2.1 ให้ f’(t) = 0 ในกรณีที่ f’(t) หาค่าได้

2.2 ให้ = 0 ในกรณีที่ f’(t) หาค่าไม่ได้

3. ทำการทดสอบค่าวิกฤต t

3.1 ถ้า f’(x) > 0 เมื่อ x < t และ

f’(x) < 0 เมื่อ x > t

แล้ว f(t) จะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ f ที่จุด a

3.2 ถ้า f’(x) < 0 เมื่อ x < t และ

f’(x) > 0 เมื่อ x > t

แล้ว f(t) จะเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ f ที่จุด t

(ค่า x ที่ x < t หรือ x > t จะต้องเป็นค่าที่น้อยกว่าหรือมากกว่า t เพียงเล็กน้อยเท่านั้น หรือเป็นค่าที่อยู่ใกล้ ๆ t นั่นเอง)

ตัวอย่าง 8.1.1 จงหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์และต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน f ที่นิยามว่า

f(x) = 2x³ + 4x² – 8x + 1

วิธีทำ เพราะว่า f’(x) = 6x² + 8x – 8

ให้ f’(t) = 0

เพราะฉะนั้น 6t² – 8t – 8 = 0

(3t - 2)(t + 2) = 0

t = หรือ -2

เพราะว่า f’() = 0, f’(x) < 0 เมื่อ x Î (0,)

และ f’(x) > 0 เมื่อ x Î (,1)

เพราะฉะนั้น f() จะเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ f ที่จุด

เพราะว่า f’(-2) = 0, f’(x) > 0 เมื่อ x Î (-3,-2)

และ f’(x) < 0 เมื่อ x Î (-2,-1)

เพราะฉะนั้น f(-2) จะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ f ที่จุด -2

ตัวอย่าง 8.1.2 จงหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์และต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน f ที่นิยามว่า

f(x) =

วิธีทำ เพราะว่า f’(x) =

= =

ให้ f’(t) = 0 จะได้ว่า t = -2

จะเห็นว่า เมื่อ t = 0, f’(t) จะหาค่าไม่ได้

เพราะฉะนั้น ค่าวิกฤตจะมีสองค่า คือ -2, 0

เพราะว่า f’(-2) = 0, f’(x) > 0 เมื่อ x Î (-3,-2)

และ f’(x) < 0 เมื่อ x Î (-2,0)

เพราะฉะนั้น f(-2) จะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ f ที่จุด -2

เพราะว่า f’(0) หาค่าไม่ได้ f’(x) < 0 เมื่อ x Î (-2,0)

และ f’(x) > 0 เมื่อ x Î (0,1)

เพราะฉะนั้น f(0) จะเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ f ที่จุด 0

จุดต่ำสุดสัมพัทธ์ คือ (0,0)

การหาค่าสูงสุดและต่ำสุดวิธีที่ 2 (โดยใช้อนุพันธ์อันดับ 2)

ทฤษฎีบท 8.1.3 ให้ f เป็นฟังก์ชันบนช่วง I ให้ t Î I ซึ่ง f’(t) = 0 และ f(t) หาค่าได้

1. ถ้า f”(t) > 0 แล้ว f(t) จะเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ f ที่ t

2. ถ้า f”(t) < 0 แล้ว f(t) จะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ f ที่ t

พิสูจน์ ข้อ 1. จากนิยามของ f”

f”(t) = =

เพราะว่า f”(t) > 0 จะมีช่วงเปิด J ที่ t Î J และ

> 0

ทุก ๆ x ¹ t ใน J

นั่นคือ f’(x) – f’(t) < 0 เมื่อ x – t < 0

และ f’(x) – f’(t) > 0 เมื่อ x – t > 0

แต่ f’(t) = 0

f’(x) < 0 เมื่อ x < t

และ f’(x) > 0 เมื่อ x > t

f(t) จะเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ f ที่ t

ข้อ 2. พิสูจน์ในลักษณะเดียวกัน

ข้อสังเกต เนื่องจากทฤษฎีบทไม่ได้กล่าวถึง กรณีที่ f”(t) = 0 ดังนั้น ถ้า f”(t) = 0 จึงสรุปอะไรไม่ได้ นั่นหมายถึงใช้วิธีนี้ทดสอบไม่ได้ ให้กลับไปใช้วิธีทดสอบวิธีที่ 1

วิธีการหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์วิธีที่ 2 (โดยใช้อนุพันธ์อันดับ 2)

1. หาค่า f’(x), f”(x)

2. หาค่าวิกฤต t โดย

2.1 ให้ f’(t) = 0 เมื่อหาค่า f’(t) ได้

2.2 ให้ = 0 เมื่อหาค่า f’(t) ไม่ได้

3. ทดสอบค่าวิกฤต t

3.1 ถ้า f”(t) < 0 แล้ว f(t) จะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ f ที่จุด t

3.2 ถ้า f”(t) > 0 แล้ว f(t) จะเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ f ที่จุด t

3.3 ถ้า f”(t) = 0 แล้ว จะหาค่าสูงสุดหรือต่ำสุดสัมพัทธ์โดยวิธีนี้ไม่ได้ให้กลับไปใช้

วิธีที่ 1

ตัวอย่าง 8.1.3 จงหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน f ที่นิยามว่า f(x) = x⁴

วิธีทำ f’(x) = 4x3 ให้ f’(t) = 0 4t3 = 0 t = 0 f”(x) = 12x2 f”(0) = 0

นั่นคือใช้วิธีที่ 2 ทดสอบไม่ได้ ต้องใช้วิธีที่ 1 ทดสอบ ดังนี้

เนื่องจาก f’(0) = 0, f’(x) < 0 เมื่อ (-1,0)

และ f’(x) > 0 เมื่อ (0,1)

เพราะฉะนั้น f(0) จะเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ f ที่จุด 0

ตัวอย่าง 8.1.4 จงหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน f ที่นิยามว่า

f(x) = x³ - x² – 18x +

วิธีทำ f’(x) = 3x² – 15x – 18

f”(x) = 6x – 15

ให้ f’(t) = 0

3t² – 15t – 18 = 0

(3t + 3)(t – 6) = 0

t = -1, 6

เพราะว่า f’(-1) = 0 และ f”(-1) = -21 < 0

เพราะฉะนั้น f(-1) = 11 จะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ f ที่จุด -1 และจุดสูงสุดสัมพัทธ์คือ (-1,11)

เพราะว่า f’(6) = 0 และ f”(6) = 21 > 0

เพราะฉะนั้น f(6) = จะเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ f ที่จุด 0 และจุดต่ำสุดสัมพัทธ์คือ (6, )

การหาค่าสูงสุดสัมบูรณ์ และต่ำสุดสัมบูรณ์

ให้ f เป็นฟังก์ชันบนช่วง [a,b] เราสามารถหาค่าสูงสุดสัมบูรณ์ และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ ได้ตามขั้นตอนดังนี้

1. หาค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และต่ำสุดสัมพัทธ์ของ f บนช่วง [a,b] สมมุติว่าได้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์

หรือต่ำสุดสัมพัทธ์ เป็น f(x₁), f(x₂), …, f(x_n)

2. หาค่าของ f(a) และ f(b)

3. ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ หรือค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ หาได้ดังนี้

3.1 ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ = max(f(a), f(b), f(x₁), f(x₂), …, f(x_n))

3.2 ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ = min(f(a), f(b), f(x₁), f(x₂), …, f(x_n))

ที่มา : http://home.npru.ac.th/teerawat/Cal1_Web/chap81.htm