วิธีคิดเลขในใจที่เร็วกว่าเครื่องคิดเลข

- ตัวอย่างการบวกเลข 2 หลัก เช่น.... 95+38 = ? วิธีคิดในใจคือ แยกตัวเลขเป็น 2 กลุ่ม
คือ (90+30) และ (5+8) แล้วนำมารวมกัน ได้ 133
- ตัวอย่างการบวกเลข 3 หลัก เช่น.... 763+854=? วิธีคิดในใจคือ 800+700 =1,500
แล้วบวก 60+50 ได้ 1,610 แล้วนำไปบวกกับ 3+4 ที่เหลือ
ได้คำตอบของโจทย์นี้เท่ากับ 1,617

ส่วนวิธีลบ ชาครีย์บอกว่า น่าจะเป็นวิธีที่คนทั่วไปไม่รู้ เพราะปกติเราจะตัวเลขตั้งแล้วลบ
แต่วิธีของ ดร.เบนจามินคือ เปลี่ยนจากตัวเลขลบเป็นบวก (complement)
เช่น -23 มี complement เป็น 77

- ตัวอย่างคือ 138-68 ให้เปลี่ยนเป็น (138+32) – 100 จะคิดได้ง่ายกว่า
หรืออีกตัวอย่าง 857-192 = ? มีวิธีคิดง่ายๆ คือ เปลี่ยนเป็น 857-200 = 657
แล้วบวกด้วย 8 ที่ลบเกินไป จะได้คำตอบ 665

สำหรับวิธีคูณก็คิดจากซ้ายไปขวาเช่นกัน
อาทิ 13x14=? ให้แยกเป็น (13x10)+(13x4) = 130+52 = 182
หรือ 68x49 ให้คิดเป็น 68x50 = 3,400 แล้วลบ 68 ที่คูณเกินมา
หรือ 84x21 = ? ให้คิดเป็น 84x20=1,680 แล้วบวกด้วย 84 ที่ยังคูณไม่ครบ

มาถึงเลขยกกำลัง ชาครีย์ได้ยกตัวอย่างการยกกำลัง 2 โดยระบุว่า ให้ปัดตัวเลข
เพื่อให้เหลือตัวคูณเพียง 1 หลัก
อาทิ 23ยกกำลัง2 ซึ่งแยกได้เป็น 23x23 ให้ปัดตัวเลขขึ้น-ลงเป็น 26x20 = 520
แล้วบวกเข้ากับจำนวนยกกำลังสองของค่าที่ปัดขึ้น-ลง ซึ่งในตัวอย่างนี้คือ 3ยกกำลัง2
จะได้คำตอบเป็น 529 อีกตัวอย่างคือ 78ยกกำลัง2 ปัดได้เป็น (80x76) + 2ยกกำลัง2 = 6,084

ที่มา : http://www.baanmaha.com/community/thread27490.html

ค่าสัมบูรณ์

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็ม

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็ม หมายถึง ระยะที่จำนวนเต็มนั้นอยู่ห่างจากศูนย์ไปกี่หน่วย ดังนั้น ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มจึงเป็นบวกเสมอ ยกเว้นค่าสัมบูรณ์ของศูนย์ ซึ่งมีคาเท่ากับศูนย์ เช่น ค่าสัมบูรณ์ของ - 6 หาได้จากระยะที่ - 6 อยู่ห่างจาก 0
เนื่องจาก - 6 อยู่ห่างจาก 0 เท่ากับ 6 หน่วย
ดังนั้น ค่าสัมบูรณ์ของ - 6 = 6 สัญลักษณ์แสดงค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็ม
ค่าสัมบูรณ์เขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์
เข่นค่าสัมบูรณ์ของ 4 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 4 ดังนั้น 4 = 4
ค่าสัมบูรณ์ของ - 4 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ - 4 ดังนั้น- 4 = 4

การบวกจำนวนเต็ม

1. การบวกจำนวนเต็มบวก การหาผลบวกของจำนวนเต็มบวก ให้นำค่าสัมบูรณ์มาบวกกันแล้วตอบเป็นจำนวนบวก
2. การบวกจำนวนเต็มลบ การหาผลบวกของจำนวนเต็มลบ ให้นำค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มลบมาบวกกัน แล้วตอบเป็นจำนวนเต็มลบ
3. การบวกระหว่างจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ การหาผลบวกระหว่างจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ ให้นำค่าสัมบูรณ์มาลบกัน แล้วตอบเป็นจำนวนเต็มบวกหรือลบ ตามจำนวนที่มีค่าสัมบูรณืมากกว่า
เช่น 1. 2 + ( - 10) = - 8 2. (- 3 ) + 12 = 9
3. (- 9) + 6 + ( - 5 ) = (- 3) + (- 5) = - 8 4. 14 + (- 8) + (- 6) = 6 + (- 6) = 0

การลบจำนวนเต็ม
การลบจำนวนเต็ม เราอาศัยการบวกตามข้อตกลงคือให้เปลี่ยนการกระทำลบ เป็นการกระทำบวกด้วยจำนวนตรงข้ามของตัวลบ ดังนี้
ตัวตั้ง - ตัวลบ = ตัวตั้ง + จำนวนตรงข้ามของตัวลบ เช่น
1. 12 - 18 = ?
วิธีทำ เนื่องจาก ตัวตั้ง = 12
ตัวลบ = 18
ดังนั้น 12 - 18 = 12 + จำนวนตรงข้ามของ 18
= 12 + ( - 18)
= - 6
2. (- 4) - ( - 8) = ?
วิธีทำ เนื่องจาก ตัวตั้ง = (- 4 )
ตัวลบ = ( - 8 )
ดังนั้น (- 4 ) - (- 8 ) = (- 4 ) + จำนวนตรงข้ามของ ( - 8)
= (- 4 ) + 8
= 4

ที่มา : http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/lopburi/jariyaporn_s/math/sec02%20p02.html

ปริพันธ์

ปริพันธ์ (อังกฤษ: integral) คือ ฟังก์ชันที่ใช้หา พื้นที่, มวล, ปริมาตร หรือผลรวมต่างๆ. เราอาจหาปริพันธ์ได้หลายวิธี แต่ไม่ว่าหาด้วยวิธีใด ก็จะได้ผลลัพธ์เท่ากันเสมอ. การหาปริพันธ์ (integration) เป็นกระบวนการที่ต่างจากการหาอนุพันธ์ แต่ก็มีความเกี่ยวข้องกัน

"ปริพันธ์" ต่างจากปฏิยานุพันธ์ แต่ทั้งสองมีความสัมพันธ์ที่ใกล้เคียงกัน ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสจะอธิบายว่าทำไมปริพันธ์กับปฏิยานุพันธ์ถึงเกี่ยวข้องกัน. ปริพันธ์แบบปฏิยานุพันธ์ คือ ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต (indefinite integral) แต่ปริพันธ์ที่กล่าวถึงในบทความนี้ จะเป็นปริพันธ์จำกัดเขต (definite integral)

ปริพันธ์ของฟังก์ชันจำนวนจริงบวกที่ต่อเนื่อง และมีตัวแปร x อยู่ระหว่างจุด a กับจุด b ก็คือ พื้นที่ที่ถูกปิดล้อมด้วยเส้น x=a, x=b, แกน x และเส้นโค้ง f(x) ดังรูป. หรือจะกล่าวให้เป็นทางการขึ้นว่า ถ้าเราให้

แล้วปริพันธ์ของฟังก์ชัน f ระหว่าง a กับ b ก็คือการวัดขนาดของ S นั่นเอง

ไลบ์นิซ ได้ใช้เครื่องหมาย s ยาว แทนสัญลักษณ์ของปริพันธ์ ปริพันธ์ในย่อหน้าที่แล้วจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ โดยสัญลักษณ์ ∫ หมายถึงการหาปริพันธ์, a และ b หมายถึงขอบเขตของช่วงที่เราจะหา, f(x) คือฟังก์ชันที่เราต้องการหาปริพันธ์ และ dx แทนตัวแปรที่จะหาปริพันธ์ ซึ่งในอดีต dx จะแทน ปริมาณที่เล็กมากๆ และ s ยาว นั้นมาจากคำว่า "sum" ซึ่งแปลว่าผลบวก

ตัวอย่างเช่น ให้ f(x) = 3 ปริพันธ์ของ 0 ถึง 10 ก็คือพื้นที่ที่ล้อมด้วยเส้น x = 0, x = 10, y = 0, และ y = 3 ดังนั้น พื้นที่สี่เหลี่ยมรูปนี้จึงเท่ากับความยาวคูณความสูง ค่าของปริพันธ์จึงเท่ากับ 30

วิธีหาปริพันธ์ที่พื้นฐานที่สุด ก็คือใช้ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสในการหา ซึ่งมีขั้นตอนดังนี้

การหาปริพันธ์

1. กำหนดฟังก์ชัน f(x) และช่วง [a, b]

2. หาปฏิยานุพันธ์ของ f ก็คือ หาฟังก์ชัน F ที่ F' เท่ากับ f

3. จากทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส จะได้ว่า

4. ค่าของปริพันธ์คือ F(b) − F(a)

สังเกตว่าปริพันธ์ไม่ใช่ปฏิยานุพันธ์ แต่ปฏิยานุพันธ์นำมาใช้หาปริพันธ์จำกัดเขตได้

ที่มา : http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C

กฎลูกโซ่

กฎลูกโซ่ คือกฏที่ใช้ในการหาอนุพันธ์ของ"ฟังก์ชันคอมโพสิท"

ถ้า y = = g(f(x)) แล้ว

=

การปรับสูตรใหม่ให้ดูง่าย

ถ้าให้ u = f(x) แล้ว
y = = g(f(x)) = g(u)

จาก =

จะได้ =

จาก u = f(x) แล้ว y = g(u)

ดังนั้น =

การปรับสูตรใหม่ให้ดูง่าย อีกรูปแบบหนึ่ง

ถ้า y = f เมื่อ n เป็นจำนวนตรรภยะ และ

f(x) เป็นฟังก์ชันที่สามารถหา f '(x) ได้ แล้ว
= n . . f '(x)

ตัวอย่าง ถ้า y = จงหา

กำหนดให้ y = เมื่อ f (x) = + 5

เพราะฉะนั้น f ' (x) = 2x

= 3 . . f ' (x)

= 3 . f ' (x)

= 6 x

ที่มา : http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/2-diff_chain.htm

การประยุกต์อนุพันธ์และการอินทิกรัล

การประยุกต์อนุพันธ์และการอินทิกรัล

การหาค่าสูงสุดและต่ำสุด

นิยาม 8.1.1 ให้ f เป็นฟังก์ชันบนช่วง I และ t Î I

1. เราจะเรียก f(t) ว่าค่าสูงสุดสัมพัทธ์ (relative maximum) ของ f ที่จุด t ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนบวก h ที่ทำให้ f(x) £ f(t) ทุก ๆ x Î (t-h,t+h) และเรียกจุด (t,f(t)) ว่า จุดสูงสุดสัมพัทธ์ของ f

2. เราจะเรียก f(t) ว่าค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ (relative minimum) ของ f ที่จุด t ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนบวก h ที่ทำให้ f(x) ≥ f(t) ทุก ๆ x Î (t-h,t+h) และเรียกจุด (t,f(t)) ว่า จุดต่ำสุดสัมพัทธ์ของ f

3. เราจะเรียก f(t) ว่าค่าสูงสุดสัมบูรณ์ (absolute maximum) ของ f บน I ก็ต่อเมื่อ f(x) £ f(t) ทุก ๆ x Î I และเรียกจุด (t,f(t)) ว่าจุดสูงสุดสัมบูรณ์ของ f

4. เราจะเรียก f(t) ว่าค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ (absolute minimum) ของ f บน I ก็ต่อเมื่อ f(x) ≥ f(t) ทุก ๆ x Î I และเรียกจุด (t,f(t)) ว่าจุดต่ำสุดสัมบูรณ์ของ f

รูปที่ 8.1.1

f เป็นฟังก์ชันบนช่วง (-∞,a]

ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ คือ f(m), f(p), f(a)

ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ คือ f(n), f(q)

ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ คือ f(a)

ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ ไม่มี

การหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดวิธีที่ 1 (โดยใช้อนุพันธ์อันดับ 1)

ทฤษฎีบท 8.1.1 ให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ t และ f’(t) = 0 หรือ f’(t) หาค่าไม่ได้ ถ้ามีช่วง (a,b) ที่ t Î (a,b) และทำให้ f’(x) > 0 เมื่อ x Î (a,t) และ f’(x) < 0 เมื่อ x Î (t,b) แล้ว f(t) จะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ f ที่จุด t

พิสูจน์ เนื่องจาก f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ t เพราะฉะนั้น f นิยามที่จุด t เพราะว่ามีช่วง (a,t) ที่ทำให้ f’(x) > 0 เมื่อ x Î (a,t)

จะได้ว่า f จะเป็นฟังก์ชันเพิ่มบน [a,t] และ f(t) > f(x) " x Î [a,t)

มีช่วง (t,b) ที่ทำให้ f’(x) < 0 เมื่อ x Î (t,b)

จะได้ว่า f จะเป็นฟังก์ชันลดบน [t,b] และ f(t) > f(x) " x Î (t,b]

ดังนั้น f(t) > f(x) " x ≠ t และ x Î [a,b]

นั่นคือ f(t) จะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ f ที่จุด t

ทฤษฎีบท 8.1.2 ให้ f เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องที่ t และ f’(t) = 0 หรือ f’(t) หาค่าไม่ได้ ถ้ามีช่วง (a,b) ที่ t Î (a,b) ทำให้ f’(x) < 0 เมื่อ x Î (a,t) และ f’(x) > 0 เมื่อ x Î (t,b) แล้ว f(t) จะเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ f ที่จุด t

ถึงแม้ว่า f’(t) จะหาค่าไม่ได้ f(t) ก็เป็นค่าสูงสุด (หรือต่ำสุด) ได้เช่น ฟังก์ชัน f ในรูป f’(t) มีค่าเข้าใกล้ ∞ นั่นคือ f’(t) หาค่าไม่ได้ แต่ f(t) เป็นค่าสูงสุด

ค่า f(t) ที่ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ เราจะเรียกว่า ค่าที่สุด (extreme value) หรือ extremum ของ f

ค่า f ที่ทำให้ f’(t) = 0 หรือ f’(t) หาค่าไม่ได้ จะเรียกว่า ค่าวิกฤต (critical value)

วิธีการหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์วิธีที่ 1 (โดยใช้อนุพันธ์อันดับ 1)

1. หาค่า f’(t)

2. หาค่าวิกฤต t โดย

2.1 ให้ f’(t) = 0 ในกรณีที่ f’(t) หาค่าได้

2.2 ให้ = 0 ในกรณีที่ f’(t) หาค่าไม่ได้

3. ทำการทดสอบค่าวิกฤต t

3.1 ถ้า f’(x) > 0 เมื่อ x < t และ

f’(x) < 0 เมื่อ x > t

แล้ว f(t) จะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ f ที่จุด a

3.2 ถ้า f’(x) < 0 เมื่อ x < t และ

f’(x) > 0 เมื่อ x > t

แล้ว f(t) จะเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ f ที่จุด t

(ค่า x ที่ x < t หรือ x > t จะต้องเป็นค่าที่น้อยกว่าหรือมากกว่า t เพียงเล็กน้อยเท่านั้น หรือเป็นค่าที่อยู่ใกล้ ๆ t นั่นเอง)

ตัวอย่าง 8.1.1 จงหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์และต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน f ที่นิยามว่า

f(x) = 2x³ + 4x² – 8x + 1

วิธีทำ เพราะว่า f’(x) = 6x² + 8x – 8

ให้ f’(t) = 0

เพราะฉะนั้น 6t² – 8t – 8 = 0

(3t - 2)(t + 2) = 0

t = หรือ -2

เพราะว่า f’() = 0, f’(x) < 0 เมื่อ x Î (0,)

และ f’(x) > 0 เมื่อ x Î (,1)

เพราะฉะนั้น f() จะเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ f ที่จุด

เพราะว่า f’(-2) = 0, f’(x) > 0 เมื่อ x Î (-3,-2)

และ f’(x) < 0 เมื่อ x Î (-2,-1)

เพราะฉะนั้น f(-2) จะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ f ที่จุด -2

ตัวอย่าง 8.1.2 จงหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์และต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน f ที่นิยามว่า

f(x) =

วิธีทำ เพราะว่า f’(x) =

= =

ให้ f’(t) = 0 จะได้ว่า t = -2

จะเห็นว่า เมื่อ t = 0, f’(t) จะหาค่าไม่ได้

เพราะฉะนั้น ค่าวิกฤตจะมีสองค่า คือ -2, 0

เพราะว่า f’(-2) = 0, f’(x) > 0 เมื่อ x Î (-3,-2)

และ f’(x) < 0 เมื่อ x Î (-2,0)

เพราะฉะนั้น f(-2) จะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ f ที่จุด -2

เพราะว่า f’(0) หาค่าไม่ได้ f’(x) < 0 เมื่อ x Î (-2,0)

และ f’(x) > 0 เมื่อ x Î (0,1)

เพราะฉะนั้น f(0) จะเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ f ที่จุด 0

จุดต่ำสุดสัมพัทธ์ คือ (0,0)

การหาค่าสูงสุดและต่ำสุดวิธีที่ 2 (โดยใช้อนุพันธ์อันดับ 2)

ทฤษฎีบท 8.1.3 ให้ f เป็นฟังก์ชันบนช่วง I ให้ t Î I ซึ่ง f’(t) = 0 และ f(t) หาค่าได้

1. ถ้า f”(t) > 0 แล้ว f(t) จะเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ f ที่ t

2. ถ้า f”(t) < 0 แล้ว f(t) จะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ f ที่ t

พิสูจน์ ข้อ 1. จากนิยามของ f”

f”(t) = =

เพราะว่า f”(t) > 0 จะมีช่วงเปิด J ที่ t Î J และ

> 0

ทุก ๆ x ¹ t ใน J

นั่นคือ f’(x) – f’(t) < 0 เมื่อ x – t < 0

และ f’(x) – f’(t) > 0 เมื่อ x – t > 0

แต่ f’(t) = 0

f’(x) < 0 เมื่อ x < t

และ f’(x) > 0 เมื่อ x > t

f(t) จะเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ f ที่ t

ข้อ 2. พิสูจน์ในลักษณะเดียวกัน

ข้อสังเกต เนื่องจากทฤษฎีบทไม่ได้กล่าวถึง กรณีที่ f”(t) = 0 ดังนั้น ถ้า f”(t) = 0 จึงสรุปอะไรไม่ได้ นั่นหมายถึงใช้วิธีนี้ทดสอบไม่ได้ ให้กลับไปใช้วิธีทดสอบวิธีที่ 1

วิธีการหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์วิธีที่ 2 (โดยใช้อนุพันธ์อันดับ 2)

1. หาค่า f’(x), f”(x)

2. หาค่าวิกฤต t โดย

2.1 ให้ f’(t) = 0 เมื่อหาค่า f’(t) ได้

2.2 ให้ = 0 เมื่อหาค่า f’(t) ไม่ได้

3. ทดสอบค่าวิกฤต t

3.1 ถ้า f”(t) < 0 แล้ว f(t) จะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ f ที่จุด t

3.2 ถ้า f”(t) > 0 แล้ว f(t) จะเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ f ที่จุด t

3.3 ถ้า f”(t) = 0 แล้ว จะหาค่าสูงสุดหรือต่ำสุดสัมพัทธ์โดยวิธีนี้ไม่ได้ให้กลับไปใช้

วิธีที่ 1

ตัวอย่าง 8.1.3 จงหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน f ที่นิยามว่า f(x) = x⁴

วิธีทำ f’(x) = 4x3 ให้ f’(t) = 0 4t3 = 0 t = 0 f”(x) = 12x2 f”(0) = 0

นั่นคือใช้วิธีที่ 2 ทดสอบไม่ได้ ต้องใช้วิธีที่ 1 ทดสอบ ดังนี้

เนื่องจาก f’(0) = 0, f’(x) < 0 เมื่อ (-1,0)

และ f’(x) > 0 เมื่อ (0,1)

เพราะฉะนั้น f(0) จะเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ f ที่จุด 0

ตัวอย่าง 8.1.4 จงหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน f ที่นิยามว่า

f(x) = x³ - x² – 18x +

วิธีทำ f’(x) = 3x² – 15x – 18

f”(x) = 6x – 15

ให้ f’(t) = 0

3t² – 15t – 18 = 0

(3t + 3)(t – 6) = 0

t = -1, 6

เพราะว่า f’(-1) = 0 และ f”(-1) = -21 < 0

เพราะฉะนั้น f(-1) = 11 จะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ f ที่จุด -1 และจุดสูงสุดสัมพัทธ์คือ (-1,11)

เพราะว่า f’(6) = 0 และ f”(6) = 21 > 0

เพราะฉะนั้น f(6) = จะเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ f ที่จุด 0 และจุดต่ำสุดสัมพัทธ์คือ (6, )

การหาค่าสูงสุดสัมบูรณ์ และต่ำสุดสัมบูรณ์

ให้ f เป็นฟังก์ชันบนช่วง [a,b] เราสามารถหาค่าสูงสุดสัมบูรณ์ และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ ได้ตามขั้นตอนดังนี้

1. หาค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และต่ำสุดสัมพัทธ์ของ f บนช่วง [a,b] สมมุติว่าได้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์

หรือต่ำสุดสัมพัทธ์ เป็น f(x₁), f(x₂), …, f(x_n)

2. หาค่าของ f(a) และ f(b)

3. ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ หรือค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ หาได้ดังนี้

3.1 ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ = max(f(a), f(b), f(x₁), f(x₂), …, f(x_n))

3.2 ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ = min(f(a), f(b), f(x₁), f(x₂), …, f(x_n))

ที่มา : http://home.npru.ac.th/teerawat/Cal1_Web/chap81.htm